Author Arjen Koop
Title Numerical Simulation of Unsteady Three-Dimensional Sheet Cavitation
Conference/Journal PhD-thesis Twente University
Month September
Year 2008

Abstract (EN)
This thesis describes the development of a computational method based on the Euler equations to predict the structure and dynamics of 3D unsteady sheet cavitation as it occurs on stationary hydrofoils, placed in a steady uniform inflow.

Since the 1990s numerical methods based on the Euler or Navier-Stokes equations have been developed to predict cavitating flows. Many existing cavitation models depend on empirical parameters for the production and destruction of vapor. In this thesis the equilibrium cavitation model is employed, which assumes local thermodynamic and mechanical equilibrium in the two-phase flow region. This model does not depend on empirical constants for the modeling of cavitation.

From the experimental investigation of Foeth it has become clear that the shedding of a sheet cavity is governed by the direction and momentum of the re-entrant and side-entrant jets and their impingement on the free surface of the cavity. Therefore, the accurate prediction of the re-entrant and side-entrant jets is paramount for an accurate prediction of the shedding of the sheet cavity. It appears that these effects are inertia driven and it is expected that a numerical method based on the Euler equations is able to capture the phenomena associated with unsteady sheet cavitation.

Due to the dynamics of sheet cavitation strong pressure pulses are often generated, originating from the collapse of shed vapor structures. To be able to predict the dynamics of the pressure waves, in this thesis the fluid is considered as a compressible medium by adopting appropriate equations of state for the liquid phase, the two-phase mixture and the vapor phase of the fluid.

Sheet cavitation occurs on hydrofoils, on impellers of pumps and on ship propellers. To allow for the treatment of geometrically complex configurations and to have the flexibility to efficiently refine grids locally in regions with cavitation, the numerical method developed is an edge-based, finite-volume method. The present numerical method can handle unstructured grids consisting of any type of elements, i.e. quadrilaterals and/or triangles in 2D and hexahedrons, prisms, tetrahedrons and/or pyramids in 3D.

This research has been conducted in close collaboration with the Department of Maritime Technology at Delft University of Technology (DUT), where experiments have been carried out for flows with cavitation. Within this collaboration a number of hydrofoil configurations have been designed employing the present numerical method. These configurations have been tested in the cavitation tunnel at DUT. In the present thesis the main aspects of the dynamics of the vapor sheet as observed on one of the three-dimensional configurations, i.e. the 3D Twist11 hydrofoil, are summarized and utilized to validate the present numerical method.

The main interest in the formulation of the numerical method is to address the critical aspects of the numerical simulation of the flow of a compressible fluid over a wide range of Mach numbers employing an arbitrary equation of state. Emphasis is on the numerical solution of the low-Mach number flow and the formulation of the boundary conditions for the finite-volume method implemented for an edge-based unstructured mesh.

Schmidt, in the group of Prof. Schnerr at TU Munich, has developed a Riemannbased flux scheme implemented for a structured mesh. This scheme performs excellently for low-Mach number flows without the necessity to use preconditioning. In collaboration with Schmidt and Prof. Schnerr, this flux scheme has been implemented in the present edge-based numerical method for unstructured grids. Second-order accuracy is obtained by employing the limiter of Venkatakrishnan.

In the present research the formulation for the non-reflective in- and outflow boundary conditions for the Euler equations, as proposed by Thompson for the ideal gas equation of state, have been generalized for an arbitrary equation of state. Furthermore, the solid wall boundary conditions at the surface of the hydrofoil are treated by the specially designed Curvature Corrected Symmetry Technique.

Several test cases for single-phase water flow have been carried out to assess the performance of the numerical method. The one-dimensional “Water Hammer” problem and a “Riemann problem for liquid flow” have been considered in order to demonstrate the wave-capturing ability of the numerical method. The low-Mach number flow over a two-dimensional cylinder is calculated to illustrate the capability of the present method to accurately calculate steady-state results for these flows without the use of preconditioning methods. The numerical results for the flow about two-dimensional NACA sections illustrate the second-order accuracy of the present method. Furthermore, it is demonstrated that hybrid meshes consisting of multiple element types can be used allowing efficient grid refinement close to the surface of the hydrofoil. The single-phase water flow over the three-dimensional Twist11 hydrofoil is presented to validate the numerical method with experimental results. It is found that the pressure distribution on the foil is accurately predicted. The lift coefficient is predicted to within 2% of the experimentally obtained value.

For cavitating flow, the one-dimensional “Closing Valve” test case and the “Two-Rarefaction waves” test case are considered, which demonstrate the convergence and stability of the developed numerical method. Subsequently, results for cavitating flow about two-dimensional hydrofoils are presented. It is shown that the re-entrant jet, the shedding of the sheet cavity, the collapse of the shed vapor cloud and the periodic nature of the shedding are captured by the present numerical method.

The three-dimensional unsteady cavitating flow about the 3D Twist11 hydrofoil is calculated. It is shown that the formation of the re-entrant flow and of a cavitating horse-shoe vortex are captured by the present numerical method. The calculated results are quite similar to the experimental observations. However, at present the computational time is too long to numerically investigate the unsteady periodic shedding of the sheet cavity on three-dimensional configurations for long enough times.

In addition, the steady cavitating flow about the geometrically more complex 3D Elliptic 11 Rake finite-span hydrofoil is simulated to show the capability of the numerical method to predict sheet cavitation on a complex three-dimensional geometry. It is found that the predicted shape of the sheet cavity corresponds well with the experimental results. However, the cavitation in the generated tip vortex observed in the experiment is not captured in much detail, primarily due to numerical dissipation in the highly rotational flow in the vortex core.

Finally, within the scope of the present research non-equilibrium models for cavitation have been investigated as well. For this the conventional approach is adopted in which it is assumed that the liquid and vapor phase have a constant density. To solve the governing equations for this model, we have applied the JST flux scheme combined with the pre-conditioning method of Weiss & Smith. Some difficulties were encountered with the JST scheme as well as drawbacks of the conventional cavitation models. It is recommended to carry out more research into the non-equilibrium models aimed at obtaining satisfactory results.

Samenvatting (NL)
Dit proefschrift beschrijft de ontwikkeling van een rekenmethode gebaseerd op de Euler vergelijkingen voor het voorspellen van de structuur en dynamica van 3D, instationaire vliescavitatie zoals voorkomt op een stationaire hydrofoil geplaatst in een stationaire, uniforme aanstroming.

Om het gedrag van caviterende stromingen te voorspellen zijn sinds de jaren 90 numerieke methoden ontwikkeld gebaseerd op de Euler en Navier-Stokes vergelijkingen. Veel bestaande modellen voor caviterende stromingen zijn afhankelijk van empirische parameters voor de produktie en destructie van waterdamp. In dit proefschrift wordt het equilibrium cavitatie model beschouwd, waarin lokaal thermisch en mechanisch evenwicht wordt verondersteld. Dit model is niet afhankelijk van empirische constanten voor het modelleren van cavitatie.

Zoals gevonden in het experimentele onderzoek van Foeth† wordt het afschudden van een vliescaviteit bepaald door de richting en momentum van de re-entrant en sideentrant jets en hun botsing met het vrije oppervlak van het vlies. Om deze reden is de nauwkeurige voorspelling van de re-entrant en side-entrant jets een kritische factor in een nauwkeurige voorspelling van het afschud-gedrag van de vliescaviteit. Omdat deze effekten gedreven worden door inertia, is aangenomen dat een numerieke methode gebaseerd op de Euler vergelijkingen de fenomenen die optreden bij vliescavitatie kan voorspellen.

De dynamica van vliescavitatie gaat vaak gepaard met sterke druk pulsen, die ontstaan door het ineen klappen van afgeschudde damp strukturen. Om de golf-dynamica van deze druk pulsen te kunnen voorspellen, wordt in dit proefschrift de vloeistof beschouwd als een samendrukbaar medium. Hiertoe zijn geschikte toestandsvergelijkingen voor de water fase, het twee-fase mengsel en de damp fase gekozen.

Vliescavitatie komt voor op hydrofoils, op impellers van pompen en op scheepsschroeven. Om geometrisch complexe configuraties te kunnen doorrekenen en om de flexibiliteit te behouden om efficient het rekenrooster lokaal te verfijnen in gebieden met cavitatie, is een edge-based, eindige-volume methode ontwikkeld. De huidige rekenmethode kan de caviterende stroming berekenen op ongestruktureerde roosters die bestaan uit verschillende typen elementen, namelijk vierhoeken en/of driehoeken in 2D en kubussen, prisma‘s, tetraeders en/of pyramiden in 3D.

Dit onderzoek is uitgevoerd in nauwe samenwerking met de afdeling Maritieme Techniek van de Technische Universiteit Delft (TUD), waar experimenten zijn uitgevoerd aan caviterende stromingen. Binnen deze samenwerking zijn een aantal hydrofoil-configuraties ontworpen met de huidige numerieke methode. Deze configuraties zijn getest in de cavitatie tunnel van TUD. De belangrijke aspecten van de dynamica van de vliescaviteit, zoals waargenomen op een van de drie-dimensionale configuraties, namelijk de 3D Twist hydrofoil, zijn in dit proefschrift samengevat en gebruikt om de ontwikkelde numerieke methode te valideren.

Het belangrijkste aspect in de formulering van de numerieke methode is het numerieke schema voor de stroming van een samendrukbare vloeistof, over een groot bereik van het Mach getal, beschreven door een willekeurige toestandsvergelijking. De nadruk ligt op de nauwkeurigheid van het numerieke schema bij lageMach getallen en op de formulering van de randvoorwaarden voor de eindige-volume methode geïmplementeerd voor een edge-based ongestruktureerd rekenrooster.

Schmidt, in de afdeling van Prof. Schnerr aan de TUMunchen, heeft een flux schema ontwikkeld voor laag-Mach getal stroming. Dit flux schema is gebaseerd op de oplossing van het Riemann probleem en maakt geen gebruik van preconditioneringsmethoden. Schmidt heeft zijn flux schema ge¨ımplementeerd in een numerieke methode voor gestruktureerde rekenroosters. Dit Riemann-based flux schema is in samenwerking met Schmidt en Prof. Schnerr ge¨ımplementeerd in de huidige edge-based numerieke methode voor ongestruktureerde rekenroosters.

In het huidige onderzoek zijn de niet-reflecterende in- en uitstroom randvoorwaarden voor de Euler vergelijkingen, zoals geformuleerd door Thompson voor de toestandsvergelijking voor een ideaal gas, gegeneralizeerd voor een willekeurige toestandsvergelijking. Verder zijn de vaste wand randvoorwaarden op het oppervlak van de hydrofoil opgelegd met de speciaal ontworpen Curvature Corrected Symmetry techniek.

Om de prestatie van de numerieke methode te bepalen zijn verschillende test gevallen voor de één-fase stroming van water uitgevoerd. Aan de hand van het één-dimensionale “Water hamer” probleem en een “Riemann probleem voor vloeistof-stroming” is gedemonstreerd dat de ontwikkelde numerieke methode het golf karakter van de oplossing nauwkeurig representeert. De twee-dimensionale stroming rondom een cirkel-cylinder bij een laag Mach getal is berekend om te illustreren dat de huidige numerieke methode zo’n stroming nauwkeurig kan berekenen zonder preconditionerings methoden te gebruiken. De numerieke resultaten voor de twee-dimensionale stroming rond NACA secties illustreren de tweede-orde nauwkeurigheid van de huidige methode. Verder is gedemonstreerd dat hybride rekenroosters bestaande uit meerdere element typen gebruikt kunnen worden, waardoor het rekenrooster vlakbij het oppervlak van de hydrofoil efficient verfijnd kan worden. De één-fase stroming van water over de drie-dimensionale Twist11 hydrofoil is berekend om de numerieke methode te valideren met experimentele resultaten. De druk verdeling op de vleugel wordt nauwkeurig voorspeld. De voorspelde lift coefficient ligt binnen 2% van de experimenteel gevonden waarde.

Voor stromingen met cavitatie zijn het één-dimensionale “Closing Valve” test geval en het “twee expansie golven” test probleem beschouwd. De resultaten laten de convergentie en stabiliteit van de ontwikkelde numerieke methode zien. Vervolgens worden de resultaten voor de caviterende stroming rond twee-dimensionale hydrofoil-secties gepresenteerd. De resultaten laten zien dat de huidige numerieke methode de reentrant jet, het afschudden van de vliescaviteit, het ineen klappen van de afgeschudde bellen-wolk en het periodieke gedrag, voorspelt.

De instationaire caviterende stroming rond de 3D Twist11 hydrofoil is berekend. De resultaten van de numerieke methode laten zien dat de ontwikkeling van de re-entrant flow en de vorming van een caviterende horse-shoe wervel voorspeld kunnen worden. De berekende resultaten komen overeen met de experimentele observaties. Echter, op dit moment is de benodigde rekentijd te lang om de instationaire periodieke afschudding van de vliescaviteit op drie-dimensionale configuraties lang genoeg numeriek te onderzoeken.

Vervolgens is de stationaire caviterende stroming rond de geometrisch complexe 3D Elliptic 11 Rake vleugel met eindige spanwijdte berekend om te demonstreren dat de huidige methode de vliescaviteit kan voorspellen op een complexe drie-dimensionale configuratie. De voorspelde vorm van de vliescaviteit komt goed overeen met die gevonden in de experimenten. Echter, de resolutie van de tip wervel is ontoereikend om tip-wervel cavitatie te voorspellen. Dit is hoofdzakelijk vanwege numerieke dissipatie in de grote gradienten van de oplossing in de kern van de wervel.

Binnen het trajekt van het huidige onderzoek zijn ook niet-evenwichts modellen voor cavitatie onderzocht. Hierbij is de gebruikelijke aanpak gevolgd door aan te nemen dat de dichtheid van zowel de vloeistof- als de dampfase constant zijn. Om de vergelijkingen voor dit model op te lossen, is het JST flux schema toegepast in combinatie met de preconditionings-methode van Weiss & Smith. Tekortkomingen van het JST schema in combinatie met cavitatie zijn gevonden alsmede enkele tekortkomingen van de conventionele modellen voor cavitatie. Meer onderzoek naar niet-evenwichts modellen is noodzakelijk om tot bevredigende resultaten te komen.

Download File
PDF format, file size 21.0 MB.